本文主要研究扰动的广义混合变分不等式解的存在性问题。对集值映射引入２种扰动方式:一种是通过连续的单值映射进行扰动;另一种是通过约束集的闸锥内部的向量进行扰动。在较弱的强制性条件下证明了扰动问题解的存在性。本文的结果在经济领域的某些价格均衡模型中有潜在的应用价值,推广和改善了一些新近文献的相应结果。
设K是Rn中的一个非空闭凸集,F:K→２Rn是一个集值映射,ϕ:Rn→R∪{＋∞}是一个真凸下半连续泛函且满足K⊂domϕ,其中domϕ是泛函ϕ的有效域,即domϕ:＝{x∈Rn:ϕ(x)＜＋∞}。所谓广义混合变分不等式(简记为GMVI(F,ϕ,K))是指:找x∈K和x∗∈F(x)满足
＋ϕ(y)－ϕ(x)≥０,∀y∈K。
本文用SOL(F,ϕ,K)表示该问题的解集。
解的存在性问题是变分不等式理论的基础性问题。当约束集K是有界集时,主要依赖不动点定理、KKM定理等作为工具获得解的存在性定理[１]。当约束集K是无界集时,借助强制性条件(coercivityconditions)是常用的方法[２-７]。现实中,由于各种因素的影响,任何映射都几乎不可能准确刻画事物的真相。这样,关于数据扰动的变分不等式的研究已成为近年来的热点问题。著名的Tikhonov正则化方法本质上是对非适定的变分不等式的映射施予数乘恒等映射的扰动(见文献[５]第１２章以及文献[８-９])。２０１４年,文献[１０]对GVI(F,K)中的映射施予更一般映射的扰动,扰动项映射不必是恒等映射,甚至不必是单调的。文献[１０]同时研究了扰动项为向量的扰动方式,在适当的强制性条件下获得扰动后的GVI(F,K)解的存在性定理。随后,文献[１１]把该结果从有限维空间推广到了无穷维空间并改善了结果。对于模型GMVI(F,ϕ,K)扰动性的研究,一些学者引入了不同的扰动方式。文献[９]通过对映射F施予数乘恒等映射的扰动,获得了解的存在性定理和逼近性质。此类Tikhonov正则化方法的思想已经被证实对于很多领域出现的非适定原问题的解决是有效的。文献[１２]通过对映射F施予参数扰动,获得了解的存在性、有界性和逼近性质。然而,现实中的变分不等式模型,由于扰动因素的多变性,似乎很难保证其扰动方式是按数乘恒等映射的方式进行,甚至连单调性都无法保证。参数化的扰动方式虽然具有很大的灵活性,但是其扰动的结果是得出一个映射族(见文献[１２]定理４．１~４．３),所有条件均要求对于整个映射族都满足,这样的条件明显强于原问题关于映射的条件要求。如何克服以上扰动方式的局限性是本文的主要动机。
受以上文献的启发,本文主要研究扰动的GMVI(F,ϕ,K)解的存在性问题。对集值映射引入２种扰动方式:一种是通过连续的单值映射进行扰动;另一种是通过约束集的闸锥内部的向量进行扰动。本文在很弱的强制性条件下证明扰动问题解的存在性,其中强制性条件与扰动项无关。本文的结果在经济领域的某些价格均衡模型中有潜在的应用价值。本文主要结果也推广和改善文献[５,９-１０]的相应结果。
１预备知识
设K是Rn中的一个非空闭凸集,对每一个r＞０,记Kr:＝{x∈K:‖x‖≤r},B(θ,r):＝{x∈Rn:‖x‖≤r},�B(θ,r):＝{x∈Rn:‖x‖≤r},用K∞和barr(K)分别表示集合K的回收锥和闸锥:
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